Autoregresný model zápalkových dát

Vrátil som sa počas sviatkov k analýze zápalkových dát. V predchádzajúcom článku som poznamenal, že probandi sa počas konkrétnej štúdie zlepšujú – čas potrebný na vyriešenie problému v priebehu experimentu klesá. Reakčné časy môžeme modelovať ako autoregresný proces, kde reakčný čas závisí na reakčnom čas v predchádzajúcej úlohe.

x_{t} ~ \sim \mathcal{N}(A_{t-1,t}x_{t-1},\sigma)

Nová vzorka je teda zmenšená hodnota predchádzajúcej vzorky. Parameter A vyjadruje prechod od jedného typu problému k druhému. Pre jednoduché problémy a zložité problémy rovnakého typu je táto konštanta rovnaká. Povedzme, že proband potreboval 100 sekúnd na vyriešenie prvého problému, následne vyriešil 3 ďalšie jednoduché problémy a konštanta A pre prechod medzi dvoma jednoduchými problémami má hodnotu 0.8. Náš model následne predpovedá hodnoty 0.8^1 \times 100, 0.8^2 \times 100, 0.8^3 \times 100. Povedzme, že po štvrtom probléme nasleduje ťažký problém. Aká bude hodnota konštanty A, ak reakčný čas oveľa dlhší ako doba riešenia predchádzajúcej úlohy? A musí byť o dosť väčšie ako 1. Naopak ak po ťažkej úlohe nasleduje úloha ľahká A musí byť zlomok menší 1. Pri našej analýze poznáme dáta a snažíme sa hodnoty koeficientov A pre rôzne typy úloh zistiť. Tieto nám pomôžu posúdiť ktoré úlohy sú ťažšie a ktoré ľahšie. Takisto sa môžeme dozvedieť či riešenie ťažkých úloh ovplyvňuje riešenie jednoduchých úloh (ak A pri prechode z ľahkej ku ťažkej je odlišné od 1/A získaného pri prechode z ťažkej späť k ľahkej úlohe). Nakoniec ak náš autoregresný proces začne vo vychýlenom stave rôznom od nuly tak v priebehu experimentu pre A menšie ako 1 konverguje k nule čím získame exponenciálne rozdelenie reakčných časov.

Ak nechceme aby náš proces konvergoval k nule ale k nejakej pozitívnej hodnote pridáme do modelu konštantný pozitívny koeficient b.

z_{t} ~ \sim \mathcal{N}(A_{t-1,t}x_{t-1},\sigma)
x_{t} = z_{t}+b

Tento model aplikujeme na dáta od každého probanda. Pre každého probanda odhadneme b,\sigma. b možno interpretovať ako konštantný minimálny čas potrebný na vyriešenie úlohy (napr. potrebný pre prečítanie zadania). A odhadneme pre každého probanda len pri prechode medzi jednoduchými problémami. Pre situáciu prechodu od jednoduchých k zložitým úlohám nemáme dosť dát (len jedno pozorovanie u každého probanda) aby sme odhadli individuálne parametre.

Výsledky pri prechode z jednoduchých do zložitých problémov vyzerajú nasledovne.

Z grafiky vidieť, že tretia úloha je najťažšia a jej vyriešenie trvá ca. 13 násobne dlhšie ako u predchádzajúcej jednoduchej úlohy. Naopak štvrtý typ úlohy je porovnateľný s jednoduchými úlohami. Ak sa však pozrieme na koeficienty pre prechod medzi jednoduchými úlohami, zistíme, že autoregresný model je neadekvátny. Nižšie sú znázornené koeficienty A pre všetkých probandov. Znázornené sú stredové hodnoty (vyplnené bodky) aj s konfidenčným intervalom 95 % pre aposteriórne rozdelenie. V dolnej grafike je histogram stredových hodnôt.

Vidieť, že hodnoty sú v rozpätí 0 až jedna ako sme očakávali. Problém je že pre mnoho probandov sú koeficienty rovné nule. Tento výsledok nám hovorí že znalosť doby riešenia predchádzajúcej úlohy nám neumožní lepšie predpovedať nasledujúce reakčné časy. Pre A=0 získame model x_{t} ~ \sim \mathcal{N}(b,\sigma), ktorý vychádza z toho že x_{t} sú navzájom nezávislé. Tento model je ekvivalentný regresnému modelu z predchádzajúceho článku. V prípadoch, kde koeficienty nie sú rovné nule pozorujeme vysokú neistotu v odhadoch parametrov, čo znova hovorí proti správnosti modelu. Na tomto mieste je najlepšie vrátiť sa k jednoduchšiemu modely z predchádzajúceho článku. To neznamená nevyhnutne, že v dátach nie sú žiadne časové súvislosti, akurát, že náš jednoduchý AR(1) model ich nedokáže popísať.

Pridaj komentár

Zadajte svoje údaje, alebo kliknite na ikonu pre prihlásenie:

WordPress.com Logo

Na komentovanie používate váš WordPress.com účet. Log Out / Zmeniť )

Twitter picture

Na komentovanie používate váš Twitter účet. Log Out / Zmeniť )

Facebook photo

Na komentovanie používate váš Facebook účet. Log Out / Zmeniť )

Google+ photo

Na komentovanie používate váš Google+ účet. Log Out / Zmeniť )

Connecting to %s